Propiedad asociativa de la multiplicación

Ejemplo de propiedad asociativa de la multiplicación

¿En qué consiste esta propiedad asociativa? Informalmente, dice que cuando tienes alguna expresión larga, puedes hacer los cálculos de atrás antes que los de delante. Formalmente (es decir, simbólicamente), es como sigue.

¿Qué significa la propiedad asociativa? Si tienes una serie de sumas o multiplicaciones, puedes empezar por las primeras e ir una a una en el sentido habitual o, alternativamente, empezar por las que están más adelante y sólo entonces ocuparte de las de delante.

Además, observa cómo hemos dicho "una serie de sumas o multiplicaciones" mientras que la definición de propiedad asociativa sólo menciona tres números. Esto se debe a que podemos extender todo el razonamiento a tantos términos como queramos, siempre que nos atengamos a una operación aritmética. Por ejemplo, la propiedad asociativa de la suma para cinco números permite bastantes opciones para el orden:

En total, damos a continuación cuatro ejemplos de propiedades asociativas divididos en dos grupos: dos sobre la propiedad asociativa de la suma y dos sobre la propiedad asociativa de la multiplicación. En cada par, el primero es un caso sencillo que utiliza la fórmula de la sección anterior (también utilizada por la calculadora de propiedades asociativas). En cambio, el segundo es una expresión más larga y complicada.

Propiedad asociativa de las fracciones multiplicativas

La propiedad asociativa de la multiplicación establece que la forma en que se agrupan los números en un problema de multiplicación no afecta ni cambia el producto de esos números. En otras palabras, el producto de tres o más números sigue siendo el mismo independientemente de la forma en que estén agrupados. Estudiemos más sobre la propiedad asociativa de la multiplicación en este artículo.

Según la propiedad asociativa de la multiplicación, si se multiplican tres o más números, se obtiene el mismo resultado independientemente de cómo se agrupen los tres números. Aquí, agrupación significa la forma en que se colocan los paréntesis en la expresión de multiplicación dada. Observa el siguiente ejemplo para entender el concepto de la propiedad asociativa de la multiplicación. La expresión de la izquierda muestra que 6 y 5 están agrupados juntos, mientras que la expresión de la derecha agrupa 5 y 7 juntos. Sin embargo, cuando finalmente multiplicamos todos los números, el producto resultante es el mismo.

La fórmula de la propiedad asociativa de la multiplicación es (a × b) × c = a × (b × c). Esta fórmula nos dice que, independientemente de cómo se coloquen los paréntesis en una expresión de multiplicación, el producto de los números sigue siendo el mismo. La agrupación de números con la ayuda de paréntesis ayuda a crear componentes más pequeños que facilitan el cálculo de la multiplicación. Observa la siguiente fórmula para la propiedad asociativa de la multiplicación.

Propiedad distributiva de la multiplicación

Las ecuaciones son el lenguaje de las matemáticas mediante el cual se pueden expresar con elegancia los aspectos más complejos y fascinantes del mundo real utilizando símbolos y operadores. Lo fundamental de estas ecuaciones es el valor final que obtenemos tras resolverlas. Sin embargo, a medida que avanzamos hacia matemáticas más desarrolladas nos enfrentamos a ecuaciones más difíciles de resolver.

Las matemáticas también nos proporcionan ciertos principios manipulativos para ayudarnos con este problema. Con ellos podemos realizar distintas operaciones aritméticas y resolver ecuaciones complejas con facilidad. Las tres propiedades principales que forman la columna vertebral de las matemáticas son:

Asociar" significa conectar o unir con algo.  En el contexto de las operaciones matemáticas, significa que la forma en que se agrupan los números en una operación matemática no cambia el resultado. Por agrupación, nos referimos a cómo se colocan los paréntesis en la expresión algebraica dada. En términos más sencillos, el resultado de la operación matemática sigue siendo el mismo independientemente de cómo se agrupen los números.

Sin embargo, muchas operaciones matemáticas significativas e intrigantes no son asociativas. Algunos ejemplos son la resta, la división, la exponenciación y el producto vectorial cruzado. Veremos estas operaciones en detalle un poco más adelante. Un ejemplo del mundo real es la suma de números en coma flotante en informática, que no es asociativa. La selección de cómo asociamos una expresión tiene un impacto significativo en el error de redondeo.

Propiedad asociativa de la multiplicación sobre la suma

La caja con una columna de colorSi te fijas en la primera columna de color naranja hay \[3 \times 2=6,6\] cubos. ¿Cuántas columnas hay en total? Muy bien, hay \[4\] columnas. Entonces \[6\] por \[4\] nos da el número total de cubos que hay, que es \[24\] cubos.Otra forma es contando los cubos de una fila.

La solución LHS de la Ley Asociativa de MultiplicaciónSi primero multiplicamos las cajas por el número de bolas que hay en cada caja \[10 \times 8\], obtendremos el número de bolas por camión. Luego multiplicamos por el número de camiones \[80 \times 2\] y nos dará \[160\] bolas en total: