Integral por cambio de variable

Cambiar el orden de integración

naturalmente consideramos el cambio de variable \(u = x^2+1\text{,}\) De esta sustitución, se deduce que \(du = 2x \, dx\text{,}\) y como \(x = 0\) implica \(u = 1\) y \(x = 2\) implica \(u = 5text{,}\) hemos transformado la integral original en \(x\) en una nueva integral en \(u\text{,}\) En particular,

A través de nuestro trabajo con coordenadas polares, cilíndricas y esféricas, ya hemos visto implícitamente algunos de los problemas que surgen en el uso de un cambio de variables con dos o tres variables presentes. A continuación, trataremos de comprender las ideas generales que subyacen a cualquier cambio de variables en una integral múltiple.

Una transformación es otro nombre para función: aquí, las ecuaciones \(x = r\cos(\theta)\) y \(y = r\sin(\theta)\) definen una función \(T\) por \(T(r, \theta) = (r\cos(\theta), r\sin(\theta))\) de modo que \(T\) es una función (transformación) de \(\R^2\) a \(\R^2\text{. Vemos esta transformación como la cartografía de una versión de la \(xy\)-plano donde los ejes son vistos como representantes \(r\) y \(\theta) (el \(r \theta)-plano) a la familiar \(xy\)-plano.

Cambio trigonométrico de variable

El cambio de variables en integrales triples es muy parecido al cambio de variables en integrales dobles. Los conceptos básicos son los mismos, sólo que tenemos que preocuparnos de la tercera dimensión adicional. Para un buen repaso de los pasos necesarios para el cambio de variables puesto en el contexto de las integrales triples, te recomendamos que leas la historia del cambio de variables en integrales triples. La página ofrece una perspectiva más tradicional del proceso.

Para calcular la transformación de volumen, se pueden aproximar las regiones azules curvas como paralelepípedos. A continuación, se puede calcular fácilmente su volumen utilizando el triple producto escalar. Se puede calcular que estos paralelepípedos están atravesados por vectores proporcionales a las derivadas parciales de la función de cambio de variables $\cvarf$, de modo que su volumen es proporcional al triple producto escalar de estas derivadas parciales.

Aunque todavía hacen falta algunas identidades trignométricas y un poco de trabajo, es mucho más fácil calcular que la masa es de $1388\pi/3$ kilogramos después de cambiar las variables a coordenadas esféricas que si nos quedamos en coordenadas cartesianas.

Cambio de variables para integrales dobles

Pendientes y áreasSupongamos que estamos en una colina. Colocamos una pelota en el suelo y la dejamos rodar pendiente abajo. Podríamos representar esta pendiente en una gráfica como la distancia hacia abajo que recorre la pelota en relación con la distancia hacia un lado que recorre la pelota. Esto se conoce como derivada. Ahora vamos a determinar el área de la sección transversal entre la pendiente y la superficie plana en la parte inferior de la colina. Esto representa la integral. El diagrama 1 muestra la relación entre derivadas e integrales.

Integrales definidasVolvamos al Diagrama 1 modificado (lo llamaremos Diagrama 2) y centrémonos en el área bajo la línea inclinada, que representa la integral definida. Una integral definida es el área entre la gráfica de una ecuación derivada y el eje x delimitado por dos coordenadas x.

Podemos ver en el Diagrama 2 que la integral definida es el área entre la línea inclinada (derivada) y el eje x entre las coordenadas x1 y x2. El pequeño rectángulo negro es uno de un enorme número de rectángulos que están alineados uno al lado del otro rellenando esta área. Sus anchuras son dx. Podemos representar cómo determinar esta área mediante la expresión

Ejemplos de integral de cambio de variable

A veces, suele ser ventajoso evaluar \(\iint\limits_R {f\left( {x,y} \right)dxdy}\) en un sistema de coordenadas distinto del sistema de coordenadas xy. Esto puede ser consecuencia de la forma de la región o de la complejidad del integrando. El cálculo de la integral doble en el nuevo sistema de coordenadas puede ser mucho más sencillo.

\[\iint\limits_R {f\left( {x,y} \right)dxdy} = \iint\limits_S {f\left[ {x\left( {u,v} \right),y\left( {u, v} \right)} \right] \kern0pt \left| {\frac{{parcial \left( {x,y} \right)}} {\parcial \left( {u,v} \right)}} \...derecha, derecha, derecha...]

\...izquierda( {x,y} derecha)}} {{parcial izquierda( {u,v} derecha)}} \{\begin}{array}{*{20}{c} {\frac {{parcial x}} {{parcial u}}&{\frac {{parcial x}} {{parcial v}} {\frac {{parcial y}} {{parcial u}}&{\frac {{parcial y}} {{parcial v}} \. \right| \ne 0\]

es el llamado Jacobiano de la transformación \(\left( {x,y} \right) \to \left( {u,v} \right),\) y \(S\) es el pullback de la región de integración \(R\) que puede ser calculado sustituyendo \(x = x\left( {u,v} \right),\) \(y = y\left( {u,v} \right)\) en la definición de \(R.\) Obsérvese, que \(\left| {\frac{{partial \left( {x,y} \right)}}{{{partial \left( {u,v} \right)}} \right||) en la fórmula anterior significa el valor absoluto del determinante correspondiente.