Integral de un logaritmo neperiano

Integral de ln(2x)

La integración de log x es igual a xlogx - x + C, donde C es la constante de integración. Podemos evaluar la integral de ln x (integración de log x con base e) utilizando la fórmula de integración por partes (también conocida como fórmula UV de integración). La integral de una función da el área bajo la curva de la función. Por lo tanto, la integral de ln x da el área bajo la curva de la función f(x) = ln x. Matemáticamente, podemos escribir la fórmula para la integración de log x, ∫log x dx = xlogx - x + C (O) ∫ln x dx = xlnx - x + C, donde log x o ln x son la función logarítmica natural.

Más adelante en este artículo, evaluaremos la integral de ln x o log x con base e utilizando la fórmula de integración por partes. En este artículo, estamos considerando log x con base e por defecto. También calcularemos la integración definida de log x con diferentes límites y resolveremos ejemplos utilizando la integral de ln x para una mejor comprensión del concepto.

La integración de log x con base e es igual a xlogx - x + C, donde C es la constante de integración. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Generalmente, escribimos la función logarítmica como logax, donde a es la base y x es el índice. La integral de ln x puede calcularse mediante la fórmula de integración por partes dada por ∫udv = uv - ∫vdu. La integración de log x da el área bajo la curva f(x) = log x. Matemáticamente, escribimos la integración de log x como ∫log x dx = xlogx - x + C, donde ∫ es el símbolo de integración, dx muestra la integral de ln x es con respecto a x y C es la constante de integración. Vamos a explorar su fórmula en la siguiente sección:

Registro integral

Logaritmo naturalGráfico de parte de la función logaritmo natural. La función crece lentamente hasta el infinito positivo a medida que x aumenta, y va lentamente hasta el infinito negativo a medida que x se acerca a 0 ("lentamente" en comparación con cualquier ley de potencias de x).Información generalDefinición general

El logaritmo natural de un número es su logaritmo en la base de la constante matemática e, que es un número irracional y trascendental aproximadamente igual a 2,718281828459. El logaritmo natural de x se escribe generalmente como ln x, loge x, o a veces, si la base e está implícita, simplemente log x.[1][2] A veces se añaden paréntesis para mayor claridad, dando ln(x), loge(x) o log(x). Esto se hace sobre todo cuando el argumento del logaritmo no es un solo símbolo, para evitar ambigüedades.

El logaritmo natural de x es la potencia a la que habría que elevar e para igualar x. Por ejemplo, ln 7,5 es 2,0149..., porque e2,0149... = 7,5. El logaritmo natural del propio e, ln e, es 1, porque e1 = e, mientras que el logaritmo natural de 1 es 0, ya que e0 = 1.

Integrar funciones logarítmicas

Ya hemos examinado las funciones exponenciales y los logaritmos en capítulos anteriores. Sin embargo, en las discusiones anteriores pasamos por alto algunos detalles clave. Por ejemplo, no estudiamos cómo tratar las funciones exponenciales con exponentes que son irracionales. La definición del número e es otra área en la que el desarrollo anterior era algo incompleto. Ahora tenemos las herramientas para tratar estos conceptos de una forma matemáticamente más rigurosa, y lo hacemos en esta sección.

A efectos de esta sección, supongamos que aún no hemos definido el logaritmo natural, el número \(e\), ni ninguna de las fórmulas de integración y diferenciación asociadas a estas funciones. Al final de la sección, habremos estudiado estos conceptos de forma matemáticamente rigurosa (y veremos que son consistentes con los conceptos que aprendimos anteriormente). Comenzamos la sección definiendo el logaritmo natural en términos de una integral. Esta definición constituye la base de la sección. A partir de esta definición, derivamos fórmulas de diferenciación, definimos el número \(e\), y ampliamos estos conceptos a logaritmos y funciones exponenciales de cualquier base.

Calculadora del logaritmo natural integral

Respuestas>Matemáticas>Nivel A>Artículo¿Puedes explicarme por qué la integral de 1/x es el logaritmo natural de x? Primero podríamos decir: bueno, como la integración es fundamentalmente el proceso inverso de la diferenciación y sabemos que la derivada de ln(x) es 1/x, entonces la integral de 1/x debe ser ln(x). Pero espera... ¿cómo sabemos que d/dx(ln x) = 1/x? Bueno, viendo ln(x), no podemos diferenciarla directamente, pero sí sabemos que su inversa es e^x. Imaginando un gráfico de la función ln(x), sabemos que invertirla equivale a dar la vuelta a los ejes o reflejar en y = x. A partir de aquí, es fácil ver gráficamente que la derivada de la función inversa es la inversa de la derivada de la función. Así, si y = ln(x) : d/dx(ln x) = 1/ d/dy(e^y). Sin embargo, la derivada de e^y es e^y a partir de la definición de la función exponencial, por lo que esto se simplifica a: d/dx(ln x) = 1/ e^y = 1/x, mostrando que la integral de 1/x es ln(x).