Ecuacion parametrica de la recta

Ecuaciones vectoriales

0,-, donde ≠0.Cualquiera que sea la forma de la ecuación, los dos datos clave que definen una recta son su vector de dirección y uno de sus puntos. Veamos cómo funciona el razonamiento en 2D antes de pasar a las tres dimensiones (3D).Si tenemos una recta de vector dirección ⃑=(1,)

las coordenadas del punto cuando =0.Este conjunto de tres ecuaciones se denomina ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio. Puesto que hay infinitos puntos que se encuentran en la línea y cualquier vector

+∞, ¡no hay limitación!), y todas definen sin ambigüedad la misma recta.Definición: Ecuaciones paramétricas de una recta en el espacioLas ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio son un conjunto no único de tres ecuaciones de la forma

número real (el parámetro) que varía de -∞ a +∞.Veamos el primer ejemplo: Hallar la ecuación paramétrica de una recta dados un punto y su vector de direcciónDemos la ecuación paramétrica de la recta en el punto (2,-4,4),

=3+,=-5-,=9+5.Vamos ahora a hallar las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por dos puntos dados.Ejemplo 2: Hallar la ecuación paramétrica de una recta dados dos puntosEscribimos la ecuación de la recta que pasa por los puntos

Ecuación vectorial de una recta

Si \((x,y)\) es un punto cualquiera de la recta entonces el vector \(\left \langle x-x_0,y-y_0 \right \rangle \text{,}\) cuya cola está en \((x_0, y_0)\) y cuya cabeza está en \((x,y)\text{,}\) debe ser paralela a \(\textbf{d}\) y por lo tanto debe ser un múltiplo escalar de \(\textbf{d}\text{,}). ) Entonces

Como \(t\) varía de \(-\infty\) a \(\infty\text{,}\) el punto \((x_0+td_x,y_0+td_y)\) atraviesa toda la línea.

Una segunda forma de especificar una recta en dos dimensiones consiste en dar un punto \((x_0,y_0)\) sobre la recta y un vector \(\textbf{n}=izquierda \ángulo n_x,n_y derecha \ángulo \) cuya dirección sea perpendicular a la de la recta.

Si \((x,y)\) es un punto cualquiera de la recta entonces el vector \(\left \langle x-x_0,y-y_0 \right \rangle text{,}) cuya cola está en \((x_0,y_0)\) y cuya cabeza está en \((x,y)\text{,}) debe ser perpendicular a \(\textbf{n}) de modo que

Obsérvese que los coeficientes \(n_x,n_y) de \(x\) y \(y\) en la ecuación de la recta son las componentes de un vector \(\izquierda \ángulo n_x,n_y \derecha \rángulo \) perpendicular a la recta. Esto nos permite leer un vector perpendicular a una recta cualquiera directamente a partir de la ecuación de la recta. Este vector se llama vector normal de la recta.

Ecuación paramétrica de la recta en 3d

En matemáticas, una ecuación paramétrica define un grupo de cantidades como funciones de una o más variables independientes llamadas parámetros.[1] Las ecuaciones paramétricas se utilizan comúnmente para expresar las coordenadas de los puntos que componen un objeto geométrico como una curva o superficie, en cuyo caso las ecuaciones se llaman colectivamente una representación paramétrica,[2] o sistema paramétrico,[3] o parametrización (alternativamente deletreado como parametrización) del objeto.[1][4][5]

forman una representación paramétrica del círculo unitario, donde t es el parámetro: Un punto (x, y) está en el círculo unitario si y sólo si hay un valor de t tal que estas dos ecuaciones generan ese punto. A veces, las ecuaciones paramétricas para las variables escalares de salida individuales se combinan en una única ecuación paramétrica en vectores:

Además de curvas y superficies, las ecuaciones paramétricas pueden describir colectores y variedades algebraicas de dimensión superior, siendo el número de parámetros igual a la dimensión del colector o variedad, y el número de ecuaciones igual a la dimensión del espacio en el que se considera el colector o variedad (para curvas la dimensión es uno y se utiliza un parámetro, para superficies dimensión dos y dos parámetros, etc.).

Ecuación paramétrica de una recta que pasa por dos puntos

Para definir de forma unívoca una recta, hay que fijarla entre dos puntos del espacio tridimensional. También se puede definir un punto con un vector tridimensional que lo atraviese. Este proceso utiliza tres tipos de ecuaciones.

\end{align*}\] donde \(m\) es el gradiente ( o pendiente) de la recta y \(c\) es la \(y-\)intercepción. Pero, ¿cómo definimos una recta en tres dimensiones (3D)? 11 El espacio tridimensional (3D) es un entorno geométrico en el que se necesitan tres coordenadas para determinar la posición de un punto. Esto es diferente de cuando tratamos con puntos en el plano \(x-y\), donde sólo se necesitan dos coordenadas.

Para llegar al punto \(R_{2}\) primero tiene que llegar a la línea. Usted hace esto viajando a lo largo de \ (\ vec {P} {0}) hasta el punto \ (P_ {0}) en la línea y luego viajar una distancia a lo largo de la línea en la dirección opuesta del vector \ (\ vec {V}) . Así que podríamos escribir [\begin{align*}

Supongamos que queremos encontrar la recta que pasa por el punto \(P_{0}left(x_{0},y_{0},z_{0}right)\) en la dirección del vector \(\overrightarrow{V}=a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}) . Considere la posibilidad de un punto general \(P\left(x,y,z\right)\) que se encuentra en la línea que pasa por el punto \(P_{0}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\) como se muestra a la derecha. Podemos definir un vector \(\overrightarrow{P_0}P}\) por: