Demostraciones del teorema de pitagoras

Animación de Pitágoras

En matemáticas, el teorema de Pitágoras es una relación fundamental de la geometría euclidiana entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Establece que el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los otros dos lados. Este teorema se puede escribir como una ecuación que relaciona las longitudes de los lados a, b y la hipotenusa c, a menudo llamada ecuación pitagórica:[1].

El teorema debe su nombre al filósofo griego Pitágoras, nacido hacia el año 570 a.C. El teorema se ha demostrado en numerosas ocasiones por métodos muy diversos, posiblemente el mayor número de teoremas matemáticos. Las pruebas son diversas, tanto geométricas como algebraicas, y algunas se remontan a miles de años atrás.

Cuando el espacio euclídeo se representa mediante un sistema de coordenadas cartesianas en geometría analítica, la distancia euclídea cumple la relación pitagórica: la distancia al cuadrado entre dos puntos es igual a la suma de los cuadrados de la diferencia en cada coordenada entre los puntos.

Teorema de Pitágoras

¿Qué es el teorema de Pitágoras? La definición del teorema de Pitágoras afirma que la suma de los cuadrados de los dos catetos de un triángulo rectángulo es igual a la suma del cuadrado de la hipotenusa. La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo y siempre está opuesto al ángulo recto. Este teorema se utiliza para determinar la longitud de los lados de un triángulo rectángulo. La fórmula del teorema de Pitágoras es {eq}a^2 + b^2 = c^2 {/eq}, donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa. PitágorasPitágoras fue un filósofo y matemático griego del siglo V a.C. al que se atribuyen varios descubrimientos científicos y matemáticos, entre los que destaca el teorema de Pitágoras. Aunque el teorema de Pitágoras fue popularizado por Pitágoras, otros matemáticos de civilizaciones antiguas como Babilonia y China ya habían formulado la idea con anterioridad. Pitágoras fue el primero en demostrar su validez para todos los triángulos rectángulos.

Inclinando el cuadrado interior de modo que sus esquinas toquen los lados del cuadrado exterior, se forman cuatro triángulos rectángulos congruentes, cada uno con lados a y b y una hipotenusa c. Los lados del cuadrado mayor son iguales a a + b, y los lados del cuadrado interior son iguales a c. El área del cuadrado mayor puede determinarse de dos maneras: {eq}A = (a + b)^2 {/eq} O la suma de las áreas de los cuatro triángulos y el cuadrado interior. Como ambos métodos producen el mismo resultado, los dos métodos son iguales. Así que, matemáticamente, {eq}(a + b)^2 = 4(ab/2) + c^2\\ a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2\ a^2 + b^2 = c^2 {/eq} Otra forma de demostrar el teorema de Pitágoras es utilizando el método del triángulo semejante. Empieza construyendo un triángulo rectángulo. A continuación, desde el vértice del ángulo recto, traza una recta perpendicular a la hipotenusa, como se indica en el diagrama.

Pitágoras en n dimensiones

El profesor R. Smullyan, en su libro 5000 a.C. y otras fantasías filosóficas, cuenta un experimento que realizó en una de sus clases de geometría. Dibujó un triángulo rectángulo en la pizarra con cuadrados en la hipotenusa y los catetos y observó que el cuadrado de la hipotenusa tenía un área mayor que cualquiera de los otros dos cuadrados. Luego preguntó: "Supongamos que estos tres cuadrados fueran de oro batido y que te ofrecieran el cuadrado grande o los dos cuadrados pequeños. ¿Cuál elegiríais?". Curiosamente, aproximadamente la mitad de la clase optó por el cuadrado grande y la otra mitad por los dos cuadrados pequeños. Ambos grupos se quedaron igual de sorprendidos cuando se les dijo que no habría diferencia.

El teorema tiene una importancia fundamental en la Geometría euclidiana, donde sirve de base para la definición de la distancia entre dos puntos. Es tan básico y conocido que, creo, cualquiera que haya recibido clases de geometría en el instituto no podrá dejar de recordarlo mucho después de que otras nociones matemáticas se hayan olvidado por completo.

Triples pitagóricos

Teorema de Pitágoras Todo lo que necesitas en un solo lugar¿Problemas de deberes? ¿Preparación de exámenes? ¿Intentas comprender un concepto o simplemente repasar los conceptos básicos? Nuestra amplia biblioteca de ayuda y práctica te ofrece todo lo que necesitas.Aprende y practica con facilidadNuestras lecciones en vídeo te ayudarán a resolver los problemas con rapidez y obtendrás toneladas de práctica en las preguntas que más preocupan a los estudiantes en los exámenes y los exámenes finales.Ayuda instantánea e ilimitadaNuestra plataforma de aprendizaje personalizado te permite encontrar al instante la respuesta exacta a tu tipo específico de pregunta. Activa ahora la ayuda ilimitada ¡Haz clic en matemáticas y saca mejores notas! Únete gratis Obtén el máximo viendo este tema en tu grado actual. Elige tu curso ahora.

En pocas palabras, el teorema de Pitágoras/relación pitagórica describe la relación entre las longitudes y los lados de un triángulo rectángulo. Tras miles de exámenes repetidos por los antiguos matemáticos griegos, se descubrió que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados c² = a² + b². Qué es el teorema de Pitágoras