Cuando una matriz no tiene inversa

Matriz singular

En cualquier sistema matemático que se pueda utilizar para representar y resolver problemas reales, es una gran ventaja tener una inversa multiplicativa. Para el conjunto de los números racionales, $\{\mathbb{Q}\},$ la inversa multiplicativa es simplemente el recíproco:

Ahora la idea es realizar operaciones elementales de fila (es decir, la eliminación de Gauss-Jordan) en el lado izquierdo 3 × 3 con el fin de transformarlo en la matriz identidad. El lado derecho "vendrá de paseo" a través de estas operaciones, lo que resulta en la matriz identidad al final. Ya verás cómo funciona. Comencemos. En primer lugar nos centraremos en poner a cero los dos 1's inferiores del vector columna más a la izquierda: $R2 - R1, \; R3 - R1$:

Se dice que las filas de una matriz son linealmente independientes si cualquiera de ellas no puede obtenerse mediante operaciones elementales (multiplicación por una constante, suma y resta) en las filas restantes. Observe que, en este ejemplo, la tercera fila de nuestra matriz es el doble de la primera. La tercera fila depende de la primera, por lo que este conjunto de ecuaciones sólo contiene dos datos, insuficientes para determinar tres incógnitas.

Calculadora de la matriz inversa de 2*2

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donde In denota la matriz identidad n por n y la multiplicación utilizada es la multiplicación matricial ordinaria. Si este es el caso, entonces la matriz B está determinada unívocamente por A, y se llama la inversa (multiplicativa) de A, denotada por A-1.[1] La inversión matricial es el proceso de encontrar la matriz B que satisface la ecuación anterior para una matriz invertible A dada.

Una matriz cuadrada que no es invertible se denomina singular o degenerada. Una matriz cuadrada es singular si y sólo si su determinante es cero[2]. Las matrices singulares son raras en el sentido de que si las entradas de una matriz cuadrada se seleccionan al azar de cualquier región finita de la recta numérica o del plano complejo, la probabilidad de que la matriz sea singular es 0, es decir, "casi nunca" será singular. Las matrices no cuadradas (matrices de m por n para las que m ≠ n) no tienen inversa. Sin embargo, en algunos casos una matriz de este tipo puede tener una inversa a la izquierda o a la derecha. Si A es m por n y el rango de A es igual a n (n ≤ m), entonces A tiene una inversa izquierda, una matriz B de n por m tal que BA = In. Si A tiene rango m (m ≤ n), entonces tiene una inversa derecha, una matriz B de n por m tal que AB = Im.

Matriz 2x2 sin inversa

La primera no tiene soluciones, mientras que la segunda tiene infinitas soluciones. En el caso de las matrices, todo es un poco más complicado. Algunas matrices tienen inversa, otras no. Y cuando una matriz tiene inversa, ¿cómo la calculamos? En otras palabras, ¿de dónde ha salido la matriz $B$ del último ejemplo? ¿Hay otras matrices que podrían haber funcionado igual de bien?

Ahora no nos preocuparemos tanto de si existe o no la inversa de una matriz, sino de cómo encontrarla cuando existe. En la sección MINM tendremos algunos teoremas que nos permitirán determinar más rápida y fácilmente cuándo una matriz es invertible.

Este teorema es bonito, y es agradable tener una fórmula para la inversa, y una condición que nos dice cuándo podemos usarla. Sin embargo, este enfoque resulta poco práctico para matrices más grandes, aunque es posible demostrar que, en teoría, existe una fórmula general. (Piensa por un momento en ampliar este resultado a matrices de 3 veces 3$. Para empezar, ¡necesitamos 18 letras!). En su lugar, vamos a trabajar columna por columna. Trabajemos primero con un ejemplo que motivará el teorema principal y eliminará parte del misterio anterior.

Cómo hallar la inversa de una matriz

Estoy intentando analizar factorialmente una matriz en R y sigo obteniendo errores que me llevan a pensar que mi matriz no es invertible. ¿Cuáles son las razones por las que una matriz podría ser no invertible? La única que encontré fue si la matriz contiene una fila o columna de todos los 0 (que mi matriz no lo hace).

Una matriz cuadrada es no invertible (singular) si el número de columnas es mayor que el número de filas linealmente independientes. Hay maneras de evitar esto dependiendo de lo que estás haciendo, ver pseudo inversa.

En otras palabras, para una matriz cuadrada A, existe al menos un vector columna (o vector fila) que se puede escribir como una función lineal de las otras columnas o filas respectivamente. Esto es trivial para un vector de todos 0.

Una forma de comprobar el número de columnas lineales independientes en $R$ (pero no necesariamente saber cuáles son) es simplemente mirando los valores propios. El número de valores propios distintos de cero determinará el "rango" de la matriz, donde el rango es el número de columnas o filas linealmente independientes para matrices cuadradas. Esto se puede hacer con: