Crecimiento y decrecimiento de funciones

Ejemplo de función exponencial

Observa que en la gráfica de una función exponencial, cada valor y de la gráfica aparece una sola vez. Por lo tanto, cada valor de y en el intervalo corresponde a un solo valor de x. Así, para cualquier valor particular de y, puedes usar la gráfica para ver qué valor de x es la entrada para producir ese valor y como salida. Esta propiedad se denomina "uno a uno".

Dado que para cada valor de la salida y se puede determinar de forma unívoca el valor de la entrada x correspondiente, toda función exponencial tiene una función inversa. La función inversa de una función exponencial es una función logarítmica, que investigaremos en la siguiente sección.

Crecimiento exponencial y problemas de decaimiento

¿Pero qué significa esto? El crecimiento exponencial significa que las cantidades se duplican cada segundo, cada hora o cada día, en función de las variables independientes y dependientes. Por ejemplo, la expresión matemática para el crecimiento exponencial de una colonia al cabo de t horas viene dada por y(t) es:

Una función exponencial es aquella en la que el exponente es una variable, la base es positiva y no equivalente a uno. F (x) =4x, por ejemplo, es una función exponencial, ya que el exponente es una constante fija y no una variable. f (x) = x3 es una función polinómica fundamental y no una función exponencial. Las funciones exponenciales presentan gráficas curvas ininterrumpidas que nunca alcanzan una asíntota horizontal. Varios fenómenos prácticos se rigen por funciones logarítmicas o exponenciales.

El crecimiento exponencial es una transformación matemática que crece indefinidamente utilizando una función exponencial. El cambio que se ha producido puede tener una dirección positiva o negativa. La premisa clave sería que el ritmo de los cambios es cada vez mayor. Cuando no están limitadas por restricciones ambientales como el espacio accesible y la alimentación, las poblaciones de microorganismos en desarrollo, y de hecho cualquier población en expansión de cualquier especie, pueden describirse como una función de crecimiento exponencial. Otra aplicación de una función de crecimiento exponencial es el crecimiento de los ahorros con interés compuesto.

Crecimiento y decadencia

El crecimiento y el decaimiento exponenciales se aplican a las cantidades físicas que cambian de valor o de forma con rapidez. El cambio puede medirse utilizando el concepto de crecimiento exponencial y decaimiento exponencial, y la nueva cantidad obtenida puede obtenerse a partir de la cantidad existente. Las fórmulas del crecimiento exponencial y el decaimiento son f(x) = a(1 + r)t, y f(x) = a(1 - r)t respectivamente.

El crecimiento exponencial y el decaimiento se aplican a cantidades que cambian rápidamente. El crecimiento y el decrecimiento exponenciales se han derivado del concepto de progresión geométrica. Las cantidades que no cambian como una constante, sino que lo hacen de forma exponencial, pueden denominarse crecimiento exponencial o decaimiento exponencial.

La representación más sencilla del crecimiento y el decrecimiento exponenciales es la fórmula abx, en la que "a" es la cantidad inicial, "b" es el factor de crecimiento, que es similar a la razón común de la progresión geométrica, y "x" en los pasos de tiempo para multiplicar el factor de crecimiento. Para el crecimiento exponencial, el valor de b es mayor que 1 (b > 1), y para el decaimiento exponencial, el valor de b es menor que 1 (b < 1).

Ecuación logística de crecimiento

El crecimiento exponencial es un proceso que aumenta la cantidad con el tiempo. Se produce cuando la tasa instantánea de cambio (es decir, la derivada) de una cantidad con respecto al tiempo es proporcional a la propia cantidad. Descrita como una función, una cantidad que experimenta un crecimiento exponencial es una función exponencial del tiempo, es decir, la variable que representa el tiempo es el exponente (a diferencia de otros tipos de crecimiento, como el crecimiento cuadrático).

Si la constante de proporcionalidad es negativa, entonces la cantidad disminuye con el tiempo y se dice que experimenta un decaimiento exponencial. En el caso de un dominio discreto de definición con intervalos iguales, también se denomina crecimiento geométrico o decaimiento geométrico, ya que los valores de la función forman una progresión geométrica.

donde x0 es el valor de x en el momento 0. Para ilustrarlo se suele utilizar el crecimiento de una colonia bacteriana. Una bacteria se divide en dos, cada una de las cuales se divide a su vez dando lugar a cuatro, luego a ocho, 16, 32, y así sucesivamente. La cantidad sigue aumentando porque es proporcional al número cada vez mayor de bacterias. Este tipo de crecimiento se observa en actividades o fenómenos de la vida real, como la propagación de infecciones víricas, el crecimiento de la deuda debido al interés compuesto y la difusión de vídeos virales. En casos reales, el crecimiento exponencial inicial no suele durar eternamente, sino que se ralentiza con el tiempo debido a límites superiores causados por factores externos y se convierte en un crecimiento logístico.