Circunferencias inscritas en un triangulo
Triángulo central
Este cociente común tiene un significado geométrico: es el diámetro (es decir, el doble del radio) de la única circunferencia en la que se puede inscribir △ABC, llamada circunferencia circunscrita del triángulo. Antes de demostrarlo, tenemos que repasar un poco de geometría elemental.
Un ángulo central de una circunferencia es un ángulo cuyo vértice es el centro O de la circunferencia y cuyos lados (llamados radios) son segmentos de recta desde O hasta dos puntos de la circunferencia. En la figura 1, \(\angle\)O es un ángulo central y decimos que intercepta al arco BC.
Un ángulo inscrito en una circunferencia es un ángulo cuyo vértice es un punto A de la circunferencia y cuyos lados son segmentos de recta (llamados cuerdas) desde A hasta otros dos puntos de la circunferencia. En la figura 2, \(\angle\)A es un ángulo inscrito que intercepta el arco BC. Enunciamos aquí sin pruebas una relación útil entre ángulos inscritos y centrales:
Teorema 1. Si un ángulo inscrito \(\angle\)A y un ángulo central \(\angle\)O interceptan el mismo arco, entonces \(\angle\)A = \(\frac{1}{ 2} \angle\)O. Por lo tanto, los ángulos inscritos que interceptan el mismo arco son iguales.
¿Cuál es la fórmula de un círculo inscrito en un triángulo?
Para cualquier triángulo △ABC, sea s = 12 (a+b+c). Entonces el radio r de su circunferencia inscrita es r=Ks=√s(s-a)(s-b)(s-c)s. Recuerda de geometría cómo bisecar un ángulo: utiliza un compás centrado en el vértice para trazar un arco que intersecte los lados del ángulo en dos puntos.
¿Cómo se calcula el radio de una circunferencia inscrita en un triángulo?
El radio interior de un triángulo se forma dividiendo primero cada uno de los tres ángulos por la mitad. El punto en el que se encuentran estas tres líneas es el centro del inradio. El inradio es una línea trazada desde el centro para intersecar perpendicularmente un lado del triángulo. In-radio de un triángulo rectángulo (r) = (P + B - H)/2.
Círculo inscrito en triángulo equilátero
En un examen de matemáticas, a Ramsha le han dado un triángulo y le han pedido que dibuje dos círculos. En una de las circunferencias, cada lado del triángulo debe ser tangente a la circunferencia. La segunda circunferencia debe pasar por los tres vértices del triángulo.
El incentro de un triángulo es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos del triángulo. El incentro se suele representar con la letra I. Este punto se considera el centro del triángulo. En todo triángulo, el incentro está siempre dentro del triángulo.
El circuncentro de un triángulo es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo. El circuncentro de un triángulo se denota con la letra S. Puede estar dentro, fuera o en un lado del triángulo, dependiendo del tipo de triángulo.
Los segmentos bisecan los lados del triángulo y unen los puntos medios de los lados con sus vértices opuestos. Por lo tanto, son las medianas del triángulo, y el punto B es el centroide. Por último, se definirán los segmentos que forman el punto C.
Magdalena y Vincenzo son propietarios de dos cadenas hoteleras que compiten entre sí. Consideran que es una oportunidad para expandir sus imperios en esta región. Magdalena quiere que su hotel esté equidistante de cada carretera asfaltada. Por otro lado, Vincenzo quiere que su hotel sea equidistante de los barrios.
Triángulo obtuso
Incircunferencias y excentricidades de un triángulo. Lados prolongados del triángulo ABC Incircunferencia (incentro en I) Excircunferencias (excentros en JA, JB, JC) Bisectrices de ángulos internos Bisectrices de ángulos externos (formando el triángulo excentral)
En geometría, la circunferencia interior o inscrita de un triángulo es la circunferencia mayor que puede contener el triángulo; toca (es tangente a) los tres lados. El centro del círculo inscrito es el centro de un triángulo llamado incentro del triángulo[1].
Un excírculo o circunferencia escindida[2] del triángulo es un círculo situado fuera del triángulo, tangente a uno de sus lados y tangente a las prolongaciones de los otros dos. Cada triángulo tiene tres circunferencias distintas, cada una tangente a uno de sus lados[3].
El centro del círculo interior, llamado incentro, es la intersección de las tres bisectrices interiores de los ángulos[3][4] El centro de un círculo exterior es la intersección de la bisectriz interior de un ángulo (en el vértice A, por ejemplo) y las bisectrices exteriores de los otros dos. El centro de este excírculo se llama excentro relativo al vértice A, o excentro de A.[3] Como la bisectriz interna de un ángulo es perpendicular a su bisectriz externa, se deduce que el centro del círculo interior junto con los tres centros de los excírculos forman un sistema ortocéntrico[5]: p. 182 pero no todos los polígonos lo hacen; los que lo hacen son polígonos tangentes. Véase también líneas tangentes a círculos.
Círculo de nueve puntas
Este cociente común tiene un significado geométrico: es el diámetro (es decir, el doble del radio) de la única circunferencia en la que se puede inscribir △ABC, llamada circunferencia circunscrita del triángulo. Antes de demostrarlo, tenemos que repasar un poco de geometría elemental.
Un ángulo central de una circunferencia es un ángulo cuyo vértice es el centro O de la circunferencia y cuyos lados (llamados radios) son segmentos de recta desde O hasta dos puntos de la circunferencia. En la figura 1, \(\angle\)O es un ángulo central y decimos que intercepta al arco BC.
Un ángulo inscrito en una circunferencia es un ángulo cuyo vértice es un punto A de la circunferencia y cuyos lados son segmentos de recta (llamados cuerdas) desde A hasta otros dos puntos de la circunferencia. En la figura 2, \(\angle\)A es un ángulo inscrito que intercepta el arco BC. Enunciamos aquí sin pruebas una relación útil entre ángulos inscritos y centrales:
Teorema 1. Si un ángulo inscrito \(\angle\)A y un ángulo central \(\angle\)O interceptan el mismo arco, entonces \(\angle\)A = \(\frac{1}{ 2} \angle\)O. Por lo tanto, los ángulos inscritos que interceptan el mismo arco son iguales.